Las formas topológicas de la materia que surgen en el mundo cuántico

Al pensar en las fases de la materia casi siempre se acude a los ejemplos clásicos: sólido, líquido y gas. En ellos, la temperatura actúa como un hilo conductor que transforma una sustancia de un estado a otro, marcando los puntos de transición, en los que el hielo se derrite o el agua se evapora. Sin embargo, cerca del cero absoluto —donde la mecánica cuántica dicta las reglas del juego y sus efectos son visibles incluso a gran escala— la materia revela un abanico mucho más amplio y sorprendente de fases.

Entre ellas destacan las fases topológicas, en las que las propiedades del material no dependen de su composición o de su estructura local, sino de su topología, una característica global del sistema que permanece inalterable frente a deformaciones suaves (por ejemplo, estirar o aplastar, pero no cortar o pegar). Esto las dota de propiedades de estabilidad, que resultan muy útiles para su uso como memorias cuánticas intrínsecamente resistentes a errores. Además, traen consigo la existencia de cuasi-partículas que no obedecen las reglas de los bosones y fermiones. Por todo ello, el problema de estudiar y clasificar estas fases topológicas de la materia se ha convertido en un problema central en la física matemática.

El comportamiento de las fases cuánticas parece estar determinado, en gran medida, por las simetrías del sistema cuántico, es decir, por aquellas transformaciones —como rotaciones, inversiones o cambios en el orden temporal— que, al aplicarlas, no hacen variar las propiedades fundamentales del sistema. Esto es así en buena parte de la física moderna, según un teorema matemático esencial de Emmy Noether, que conecta las simetrías de un sistema con las leyes de conservación. Por ejemplo, cuando los espines de los electrones —inicialmente desordenados— se alinean al introducir un campo magnético externo, ocurre una transición de fase y el sistema se vuelve ferromagnético. Este nuevo orden en los espines de los electrones puede interpretarse como la rotura de una simetría del sistema, que es detectable mediante la magnetización, el “parámetro de orden” que marca el cambio entre las dos fases diferentes.

Sin embargo, las fases topológicas y sus transiciones escapan a esta descripción. Es decir, no se explican por la rotura de una simetría convencional; las simetrías están ocultas en otro nivel y, para descubrirlas, es necesario cambiar la forma en la que se representan los estados cuánticos de la materia. Esta nueva perspectiva la aportan las redes de tensores, una herramienta matemática que describe las correlaciones cuánticas entre las partículas de un sistema.

Los tensores son generalizaciones de conceptos más familiares: los vectores y matrices. Un vector es, simplemente, una lista ordenada de números, mientras que una matriz es una tabla ordenada, organizada en filas y columnas. Es decir, un vector se extiende en una sola dirección (es unidimensional) y una matriz tiene dos direcciones (es bidimensional). Un tensor generaliza esta idea: un tensor de rango k es una tabla con k dimensiones. En una red de tensores, a cada partícula del sistema se le asigna un tensor y el estado cuántico total se obtiene contrayendo esos tensores —algo parecido a multiplicar matrices—, siguiendo un patrón, o red, que refleja las interacciones entre las partículas.

Las redes de tensores proporcionan una descripción eficiente de los estados cuánticos a baja temperatura, como mostró Matthew Hastings en un trabajo pionero, hace dos décadas. Por tanto, las propiedades de las fases topológicas deben estar codificadas en los tensores que describen el estado. Y, precisamente, la simetría de estos tensores es la que da origen a las fases topológicas. Es decir, es posible distinguir (y, por tanto, clasificar) las fases topológicas según las simetrías de los tensores que describen sus estados cuánticos como redes de tensores.

La estructura matemática necesaria para describir las simetrías de las redes de tensores va más allá de las simetrías más clásicas en matemáticas, asociadas a la estructura matemática de “grupo”: entran en juego las llamadas álgebras de Hopf débiles, una generalización de los grupos, que captura las propiedades de las cuasi-partículas emergentes de estos sistemas.

Este punto de vista ha permitido retratar matemáticamente todas las fases topológicas conocidas en los sistemas cuyas partículas se disponen en un plano —es decir, de dos dimensiones—. En particular, ha permitido obtener interacciones entre partículas cuyo estado de mínima energía es el estado RVB (Resonating Valence Bond State). Este estado fue propuesto por el Premio Nobel de Física Philip Warren Anderson como ejemplo de una fase topológica, llamada líquido topológico de espín, y podría explicar la superconductividad a alta temperatura. Sin embargo, solo a través de su representación como red de tensores, con una simetría de paridad, ha sido posible obtener interacciones concretas que lo hacen realizable. Como decía Shivaji Sondhi, catedrático de la Universidad de Oxford, hasta entonces el RVB era “un estado cuántico en busca de interacciones”.

La construcción y comprensión de las estructuras análogas que caractericen las fases topológicas en tres dimensiones sigue siendo un problema abierto de gran interés tanto físico como matemático. Para desentrañarlo, las redes de tensores siguen ofreciendo el lenguaje matemático natural para describir la materia cuántica más exótica.

David Pérez-García es catedrático de la Universidad Complutense de Madrid, miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y académico de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de España

Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT-CSIC)

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